Dr. Cotter über die Multiplikation

Blog Post Nr. 9 von Dr. Cotter, der Gründerin von RightStart Mathematik:

Multiplikation ist oft der mathematische Niedergang von vielen Kindern, nicht so sehr wegen den Algorithmen, sondern wegen dem Auswendiglernen der 100 Fakten. Ehe wir vom Kind erwarten, die Einmaleins-Fakten auswendig zu lernen, müssen wir ihnen zuerst die Bedeutung der Multiplikation beibringen. Wenn wir es als wiederholende Addition beschreiben, ist das eine limitierte Sicht, welche nicht gut funktioniert, wenn wir Brüche oder Dezimalzahlen multiplizieren.

Da die Hauptanwendung der Multiplikation das Finden von Flächen ist, ist ein Feld – ein Arrangement von Objekten in Reihen und Spalten – ein besseres Modell. Eine Reihe mit sechs Objekten dreimal wiederholt ist 6 mal 3, oder wie Montessorier sagen: „Die Sechs dreimal genommen.“ Dieses Feld produziert ein Produkt von 18.

Es gibt verschiedene Interpretationen über die Bedeutung von 6 x 3. Manchmal sieht man 6 x 3 als 6 Gruppen von 3, anstelle von 6 dreimal wiederholt. Vergleichen Sie die Bedeutung mit anderen arithmetischen Durchführungen. Wenn wir 6 + 3 addieren, beginnen wir mit 6 und verändern es, indem wir 3 dazu zählen. Wenn wir 6 – 3 subtrahieren, beginnen wir mit 6 und verändern es, indem wir 3 davon abzählen. Wenn wir 6 : 3 dividieren, beginnen wir mit 6 und verändern es, indem wir es entweder in 3 Gruppen teilen oder in 3er-Gruppen. Um beim Gleichen zu bleiben, wenn wir 6 x 3 multiplizieren, dann beginnen wir mit 6 und verändern es, indem wir es 3 Mal duplizieren.

Bemerken Sie, wie diese Ausdeutung auch dem kartesischen Koordinatensystem entspricht? Wenn wir das Feldarrangement von 6 waagrecht in 3 Reihen mit dem Ausdruck 6 x 3 repräsentieren, ist es ähnlich wie wenn wir einen Punkt (6,3) in einem Rastergitter finden. Die erste Zahl, 6, zeigt eine horizontale Zahl an und die 3, die vertikale Zahl.

Manche Fehltritte im Beibringen der Einmaleins-Fakten

Meistens wird erwartet, dass die Multiplikationsfakten auswendig gelernt werden, eine überwältigende Aufgabe, vor allem wenn 6 und 3 vorher als 9 gelernt wurde, doch jetzt ist es 18. Manche Mathematikprogramme vergrössern die Last, indem sie die Anzahl der Fakten noch erweitern auf 10 x 10 bis 12 x 12. Die 11er und 12er sind keine Grundfakten und vergrössen die Menge, die auswendig gelernt werden muss, um 44%. Die 11er und 12er können einfach ausgerechnet werden als die Summe von 10 Mal den Faktor plus 1 oder 2 Mal den Faktor. Zum Beispiel, 12 x 3 ist 10 x 3 plus 2 x 3, oder 30 + 6 = 36.

Manchmal lernen Kinder Lieder oder Verse für die Einmaleinsreihen. Ein Nachteil davon ist, dass das Kind das ganze Lied singen muss, bis der erwünschte Fakt erreicht wurde. Ein zweiter Nachteil ist die zusätzliche Zeit, die das Gehirn braucht, um die Information von der Sprachregion des Hirns zur Mathematikregion zu übertragen.

Eine andere fehlerhafte Vorgehensweise, die Einmaleinsreihen zu lernen, beinhaltet Bilder, ein Bild für jeden Fakt. Zum Beispiel, um 4 x 4 zu lernen, zeigt ein Bild einen 4×4 Geländewagen mit der Bildbeschreibung, dass der Fahrer 16 sein muss, um den Wagen zu fahren. Als ich dies zum ersten Mal sah, war das erlaubte Alter zum Fahren in North Dakota 14. Bedeutet das, dass 4 x 4 vielleicht auch 14 ist? Im Ernst, diese Art von Bildern verursachen eine Verzögerung in der Abfrage der Fakten, da unverwandte Bilder in mathematische Konzepte übersetzt werden müssen.

Der Glaube, dass das Produkt, welches wir durch eine Multiplikation erhalten, immer grösser sein muss als beide Faktoren, ist ein weiterer Irrglaube. Denken Sie an 7 x 1: das Produkt, 7, ist gleich wie und nicht grösser als der Faktor 7. Und schauen Sie was geschieht, wenn wir mit null multiplizieren: 257 x 0 ist 0, sicher nicht grösser als 257. Und wenn wir Brüche multiplizieren ist das resultierende Produkt immer weniger als die beiden Faktoren.

Und was ist mit den Einmaleinsreihen selbst? Es scheint Sinn zu machen, die Multiplikationsfakten mittels aufgezählten Reihen zu lernen. Doch Kinder benützen dann oft ihre Finger, um die gewünschte Zahl zu finden. Ich sah dies in einer Schule in England, wo die Kinder die Reihen schnell auswendig sagen konnten, doch die Fakten trotzdem nicht konnten. Das wird einfach zu einer weiteren Prozedur, die auswendig gelernt wird.

Die Einmalseins-Fakten mittels Visualisierung lernen

Um die Multiplikationsfakten zu lernen, gibt es nichts Besseres als das Kommutativgesetz, um die Aufgabe zu vereinfachen. Ich finde es immer noch erstaunlich, dass 6 x 4 das Gleiche ist wie 4 x 6. Nur diese Tatsache allein reduziert die Anzahl der Fakten, die man in der 100er Tafel lernen muss, von 100 auf 55.

Es ist einfach, die 1er Fakten zu lernen: 1 x 8 bedeutet, dass die Eins 8 mal wiederholt wird, was 8 ist und 8 x 1 bedeutet, dass die Acht einmal genommen wird, was auch 8 ist. Die 2er kennt man bereits von den Additionsfakten und die 10er sind bekannt aus der Arbeit mit dem Stellenwert. Jetzt haben wir nur noch 28 Fakten zum Lernen.

Der AL Abakus bietet grossartige visualisierbare Strategien. Zum Beispiel, geben Sie 6 x 4 darauf ein, wie im untenstehenden Bild gezeigt wird.

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Sehen Sie die zwei Gruppen von 10 und die vier Einer, was bedeutet, dass 6 x 4 = 10 x 2 + 4 = 24.

Der Fakt 9 x 3 kann wie folgt gesehen weren: 10 x 3 – 3 und das gibt 27.

Ein letztes Beispiel ist 7 x 7. Sehen Sie unten.

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Hier sehen Sie fünf Reihen mit fünf o’s und das macht 25. Sehen Sie auch die 10 x in den zwei rechten Spalten und noch eine 10 in den unteren zwei Reihen. Die Ecke unten rechts hat die übrigen 4. Es braucht weniger als 2 oder 3 Sekunden, um das visuelle Bild im Kopf zu haben und das Produkt zu finden, indem wir wie folgt denken: 25 + 10 + 10 + 4 = 49. Denken Sie daran, ein Kind kennt einen Fakt, wenn er innerhalb von 2 oder 3 Sekunden antworten kann.

Jeder der Multiplikationsfakten kann auf dem AL Abacus gefunden werden, indem man nach ähnlichen Mustern sucht.

AL Abacus

Multiplikationsalgorithmen

Ausser vielleicht aus historischen Gründen, sehe ich keinen Grund, um die Gittermultiplikation zu unterrichten. Die Gittermethode ist zeitaufwendig, hilft dem Verständnis nicht und führt nicht auf natürliche Weise zum traditionellen Algorithmus. Der normale Multiplikationsalgorithmus ist relativ einfach zum Unterrichten mit Verständnis.

lattice multiplication

Hier ist der Originalartikel auf Englisch.

 

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