Dr. Cotter über Brüche

 

Blog Post Nr. 11 von Dr. Cotter, der Gründerin von RightStart Mathematik:

Die Brüche haben in der Welt der Arithmetik einen schlechten Ruf, als seien sie unverständlich und unvorhersehbar. In Cartoons wird diese Angst vor Brüchen oft zum Spass ausgenützt. Ob Sie es glauben oder nicht, es ist ein riesiges Missverständnis. Die Brüche sind notwendig und erstaunlich. Wir brauchen Brüche, u.a. um die Uhr zu lesen, Geld zu zählen und um zu kochen.

Historisch gesehen, wurden die Brüche immer als Teil eines Ganzen gesehen. Zum Beispiel, ein Drittel bedeutete ein Teil von drei gleichen Teilen eines Objekts. Brüche konnten nie gleich wie oder grösser als eins sein. Das englisch Wort für Bruch ist „fraction“ oder auch „Fraktion“, welches vom lateinischen Wort „frangere“ stammt und „zu brechen“ bedeutet.

Dann, im 17. Jahrhundert, haben Mathematiker das Konzept der Brüche ausgeweitet. Die neue Interpretation war die Division von zwei ganzen Zahlen. Also kann man jetzt ein Drittel als 1 geteilt durch 3 sehen. Das bedeutet, dass 3/3 jetzt ein Bruch ist, denn es ist 3 geteilt durch 3, obwohl es gleich eins ist. Und 4/3 ist auch ein legitimer Bruch, da es 4 geteilt durch 3 ist, obwohl das Resultat grösser als eins ist.

Manche Menschen freuten sich nicht besonders über diese neuen Brüche. Sie nannten ihre altbekannten Brüche echt und die neuen, unbekannten Brüche unecht. Der Begriff unecht scheint anzudeuten, dass damit etwas nicht ganz in Ordnung ist, doch es bedeutet ganz einfach, dass unechte Brüche nicht Teil des traditionellen oder ursprünglichen Verständnisses der Brüche waren. Meistens kümmert es aber niemanden, ob ein Bruch echt oder unecht ist.

Leider benützen wir in der alltäglichen Sprache immer noch die uralte Idee eines Bruchs. Eine kleine Menge von etwas nennt man „ein Bruchteil“ davon. (Anm. von mir: in der deutschen Sprache ist das Wort Bruch eigentlich besser als in Englisch, da es tatsächlich etwas mit einem Bruch/brechen zu tun hat).

Wenn Brüche Division sind, warum verwenden wir die Begriffe Zähler und Nenner und nicht Dividend und Divisor? Diese Begriffe sind übrigens Übrigbleibsel der frühen Bruchära, den 1540er Jahren. Zähler weist auf eine Prozedur des Zählens hin und Nenner weist auf die Sorte der Teile, die man zählen muss, hin. Sie werden den Kindern oft beigebracht als obere und untere Zahl – unbrauchbares Auswendiglernen. Ich zögere das Lernen dieser Begriffe so lange wie möglich heraus.

Ein Ziel im Mathematikunterricht ist es, dem Kind zu helfen, Beziehungen zwischen Konzepte zu sehen. Um Kinder in ihrem mathematischen Verständnis zu helfen, müssen wir die Brüche viel früher als Division lehren. Interessanterweise kam eine frühe Verbindung von Brüche als Division aus der Division mit Rest.

Kreisbruchmodell

Eines der ersten Modelle, die für den Bruchunterricht gebraucht wurde, war der Kreis. Mit der Beliebtheit eines bestimmten italienischen Gerichts, sprechen wir heute über Pizzas. Doch Pizzas oder Kreise haben einige grosse Nachteile. Obwohl es einfach ist, 1/2, 1/3 oder 1/4 eines Kreises zu sehen, ist es nicht einfach 1/7, 1/8 oder 1/9 zu sehen oder die Differenzen zu visualisieren.  Es ist schwierig, Brüche in Kreisen zu zeichnen oder zu vergleichen, da wir Mengen eher in einer geraden Linie sehen und nicht um einen Ring herum. Auch wenn wir versuchen, die verschiedenen Teile in zwei Kreisen miteinander zu vergleichen, bringt es nur unseren Augen gute Übung. Buchhalter erwarten von ihren LeserInnen nicht, mit Hilfe eines Kreisdiagramms visuelle Vergleiche zu machen, sondern schreiben die Brüche oder Prozentzahlen im Kreis. Ein anderer grosser Nachteil des Kreismodells ist die Schwierigkeit, Brüche zu zeigen, die grösser sind als 1.

Lineares Bruchmodell

Ein besser visualisierbares Bruchmodell sind die Bruchstreifen. Sie sind eine Reihe von zehn Rechtecken, alle zwischen 20 und 25 cm lang. Auf dem ersten Streifen steht in der Mitte eine 1. Der zweite Streifen hat eine vertikale Linie in der Mitte, die den Streifen halbiert und in der Mitte der beiden Teile steht 1/2. Der dritte Streifen hat zwei vertikale Linien, die den Streifen in Drittel teilt, mit 1/3 in allen drei Teilen. Dieses Muster setzt sich so fort bei den restlichen Streifen bis zu den Zehnteln. Wenn die zehn Streifen der Reihenfolge nach neben und unter einander hingelegt werden, bilden sie die Bruchtabelle.

fraction chart

Vielleicht haben Sie schon Variationen von diesen Streifen gesehen. Manchmal ist jeder Bruch eine andere Farbe. Zuerst mag dies als eine schöne Verbesserung erscheinen. Doch, wenn die Streifen zusammen gelegt werden in der Bruchtabelle, dominieren die Farben über die Grösse der Brüche. Die Brüche müssen über die Unterschiede in der Grösse identifiziert werden, nicht über ihre Farbe. Alle Streifen sollten deshalb die gleiche Farbe haben.

Eine andere komische Variation sind die fehlenden Brüche. Die Siebtel und Neuntel fehlen, doch die Zwölftel sind dabei. Seit wann lassen wir die Zahlen, die wir nicht mögen, einfach aus? Wenn die Bruchtabelle komplett ist, gibt es interessante Bögen, tatsächlich sind es Hyperbeln. Wenn manche Streifen fehlen, verschwinden die Hyperbeln.

Am Besten hat man zwei Sets dieser Bruchstreifen: ein Set als Ganzes als Bruchtabelle und das andere Set, um in individuelle Teile zu schneiden. Alle Kinder profitieren davon, wenn sie die Streifen wie in einem Puzzle zur Tabelle zusammenfügen können. Jüngere Kinder lieben es, dies immer und immer wieder zu tun. Lassen Sie sie die Bruchtabelle neben und nicht auf dem Modell zusammenfügen. Eine andere faszinierende Aktivität ist es, wenn wir einen Streifen von jeder Grösse nehmen und eine Treppe bauen. Und wieder erscheint eine Hyperbel.

Die Geschichte von Mike

Vor einigen Jahren unterrichtete ich Mike, einen Drittklässler, der Hilfe brauchte in der Mathematik. Seine Familie zog bald weg, also stellte ich ihm am letzten Tag noch die Brüche vor. Ich fing damit an, ihn zu fragen, das Puzzle zusammenzufügen. Nachdem ich ihm erklärt hatte, was 1/4 bedeutete, fragte ich: „Was ist mehr, 4 oder 5? Aber was ist mehr, 1/4 oder 1/5? Was ist mehr, 2 oder 3? 1/2 oder 1/3?“

Danach fuhr ich wie folgt fort: „Wie viele Drittel brauchst du, um ein Ganzes zu machen? Wie viele Viertel? Wie viele Fünftel?“ Dann erklärte ich, dass 3/4 drei 1/4 sind.

Am Ende der 45-minütigen Lektion sagte ich Mike, dass er noch nicht alles über die Brüche gelernt hatte. Ich sagte, dass wir noch nicht darüber geredet hatten, wie man Brüche addiert, wie zum Beispiel 1/4 plus 1/8. Mike schaute auf die Tabelle und sagte, dass die Antwort 3/8 war. Er hatte es im Kopf ausgerechnet!

Hier ist der Originalartikel in Englisch.

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