Dr. Cotter über die Division

Blog Post Nr. 10 von Dr. Cotter, der Gründerin von RightStart Mathematik:

Die „lange“ Division wurde früher als ultimatives Ziel der Arithmetik angesehen. Ein früherer Divisionsalgorithmus war so kompliziert, dass es erst an der Uni unterrichtet wurde. Bis heute lernen manche SuS eine Eselsbrücke, um sich daran zu erinnern, was sie als Nächstes tun sollten. Ein solches Beispiel ist DMSB (dividiere, multipliziere, subtrahiere, bring runter). Um dies noch besser erinnern zu können, brachten manche Lehrpersonen ihren SuS sogar eine Eselsbrücke für die Eselsbrücke bei: Daddy, Mami, Schwester, Bruder.

Heute gibt es eigentlich kaum einen Grund, weshalb SuS die „lange“ Division mit zwei- oder dreiziffrigen Divisoren lernen müssen. Das werden sie kaum einmal im echten Leben brauchen. Und die fortgeschrittene Mathematik hängt nicht von dieser altertümlichen Fähigkeit ab. Ein Autor schlug vor, dass die schriftliche Division immer noch unterrichtet wird, weil es Tradition ist. Warum unterrichten wir dann nicht mehr die Papier-und-Bleistift Methode, um Quadratwurzeln zu finden?

Stattdessen sollten SuS lernen, wie sie mit einziffrigen Divisoren dividieren müssen (Anm.: der „kurzen“ Division), was bedeutet, dass der Quotient, oder die Antwort, niedergeschrieben wird ohne andere Zwischenrechnungen. Leider gibt es heute viele Erwachsene, die diese Division nie gelernt haben, obwohl es bereits im frühen 19. Jahrhundert in Mathematik Lehrbüchern vorkam.

Die „kurze“ Division

Lasst uns ein Beispiel der „kurzen“ Division anschauen: 471 ÷ 3.

Zuerst teilen wir die Hunderter: 4 Hundert geteilt durch 3 ist 1 Hundert mit 1 Hundert Rest. Jetzt schreiben wir eine 1 an die Hunderterstelle als Quotient, der Antwort.

Dann dividieren wir die Zehner. Da 100 10 Zehner sind, haben wir jetzt 10 + 7, oder 17 Zehner. Dies wird gezeigt, indem wir eine kleine 1 vor der 7 schreiben.

     

Wenn wir 17 Zehner durch 3 teilen, gibt das 5 Zehner. Um herauszufinden was der Rest ist, sollten wir jetzt nicht 3 x 5 = 15 und 17 – 15 = 2 denken. Das ist zu schwierig. Stattdessen sollten wir mit der 15 anfangen und darüber nachdenken, wie weit es noch bis 17 ist. Die Antwort ist 2 Zehner, das sind 20 Einer. Also schreiben wir eine kleine 2 vor dem 1.

Schliesslich dividieren wir 21 Einer durch 3 und das gibt 7 Einer. Der Quotient ist 157.

Hier ist ein zweites Beispiel: 8053 ÷ 9.

Wir fangen mit dem Tausender an, doch 8 ist weniger als 9, also springen wir zu 80 Hundertern. 80 Hunderter geteilt durch 9 ist 8 Hunderter. Wir schreiben 8 an der Hunderterstelle im Quotient. Um herauszufinden, wie viel der Rest ist, multiplizieren wir 9 x 8 = 72. Dann gehen wir hoch von 72 bis 80 Hunderter und das gibt 8 Hunderter, oder auch bekannt als 80 Zehner. Wir zählen die 80 Zehner zu den 5 Zehnern und das gibt 85 Zehner; wir schreiben eine kleine 8 vor der 5.

Jetzt fahren wir weiter mit der Division der Zehner: 85 Zehner geteilt durch 9 sind 9 Zehner. Wir finden den Rest indem wir von 81 nach 85 hoch rechnen und das sind 4 Zehner.

Schliesslich teilen wir die 43 Einer durch 9 und das sind 4 Einer mit einem Rest von 7. Der Quotient ist 894 R7.

Nachdem sie einige Divisionen in dieser Art geübt haben, werden die SuS das Muster erkennen, dass sie den Rest immer vor der nächsten Ziffer schreiben, die geteilt werden muss.

Rest

Es ist sehr wichtig zu wissen, was sie mit dem Rest tun müssen, um Sachrechnungen mit Division lösen zu können. Finden Sie die Antworten auf die folgenden fünf Fragen.

1. Dreizehn Kinder machen eine Exkursion. Wenn 4 Kinder in einem Auto mitfahren können, wie viele Autos braucht es?

2. Pauline hat 13 Petunien zu pflanzen. Sie möchte immer genau 4 in einer Reihe. Wie viele Reihen muss sie pflanzen?

3. Vier Kinder dürfen CHF 13.- gerecht untereinander verteilen. Wie viel bekommt jeder?

4. Vier Kinder teilen 13 Schokoladeriegel. Wie viel bekommt jeder?

5. Jack verpackt 13 Kekse mit 4 Kekse pro Säcklein und danach isst er den Rest. Wie viele Kekse isst er?

Haben Sie bemerkt, dass die Zahlen (13 und 4) und die Rechnungsart (Division) für alle fünf Rechnungen die gleichen sind? Doch die Lösungen (4, 3, CHF 3.25, 3 1/4 und 1) sind alle verschieden. Indem diese Art von Sachrechnungen korrekt gelöst werden, wird die Mathematik angewandt und das verlangt die Benützung des Gehirns. Diese Art von Rechnungen werden oft in Tests gefunden.

Die „lange“ Division

Die „lange“ Division kann vom Standpunkt der „kurzen“ Division aus unterrichtet werden. Statt die Restzahl vor der nächsten Ziffer aufzuschreiben, wird die nächste Zahl stattdessen neben der Restzahl aufgeschrieben, welches den „Bring runter“ Effekt erzielt. Am Anfang sollte man dem Kind dafür kariertes Papier geben, um mit dem Ausrichten der Spalten zu helfen. (Anm. von uns: diese Methode mit dem „runterbringen“ wird in der Schweiz unterrichtet und das sieht dann so aus:)

division

Das Schwierige an der „langen“ Division ist es, die korrekte Ziffer für den Quotienten zu wählen. Zum Beispiel, in 2479 : 37 ist die erste Ziffer eine 8 oder eine 7, da 24 : 3 = 8 und 24 : 7 = 3R3? Nun, tatsächlich ist die erste Zahl eine 6. Es ist so frustrierend für Kinder, um ihre falsche Wahl wieder auszuradieren – das sieht aus wie ein Fehler – und wieder zu wählen.

Zusammenfassung

Die „lange“ Division wird schnell überholt und sollte nie Kindern beigebracht werden, die eine Rechenschwäche haben. Wenn man die „lange“ Division unterrichtet, dann sollte immer zuerst die „kurze“ Division gelehrt werden, denn das gibt dem traditionellen Algorithmus der „langen“ Division eine Bedeutung. Die „kurze“ Division ist eine sehr nützliche Fähigkeit in der Mathematik und im alltäglichen Leben.

Hier ist der Originalartikel in Englisch.

 

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